martes, 19 de enero de 2016
domingo, 17 de enero de 2016
DIBUJOS EN AUTOCAD
Los puntos notables de un triángulo son:
• Circuncentro
• Incentro
• Baricentro
• Ortocentro
Circuncentro
Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .
Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
Incentro
Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..
Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.
Baricentro
Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.
Ortocentro
Consideremos un triángulo de vértices A', B' y C'. Ya demostramos que las mediatrices de dicho triángulo se cortaban en un único punto, llamado circuncentro.
nombres de los angulos paralelos
Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura.
Pero esos ángulos están relacionados entre sí, de modo que si conociéramos cuánto mide uno de ellos, podríamos determinar inmediatamente los otros tres.
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en la figura.
Pero esos ocho ángulos también guardan una estrecha relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen los demás.
martes, 12 de enero de 2016
ARGUMENTOS A FAVOR Y EN CONTRA
El rectángulo dorado (denominado también rectángulo áureo) es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral logarítmica.
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
SU CONSTRUCCIÓN
En la matemática clásica se construye a partir de la regla y compás siguiendo los pasos:
1. Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
2. Traza una línea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC
3. Empleando esta línea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.
4. Se completa el rectángulo AEDF así como el rectángulo BCEF.
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción2 ) es unnúmero irracional,3 representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),4 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alpha minúscula.5
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
COMO EMPEZO EL RECTANGULO AUREO?
Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de
Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.
Su descubrimiento se lo debemos, como tantas otras cosas, a los griegos. Ellos le dieron un tratamiento básicamente geométrico, y fue Euclides en su obra elementos uno de los primeros que se refirió a este concepto
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc.
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b.
La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación.
La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos Esto es todo.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
EN CONTRA Y A FAVOR:
Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es
seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ.
Conclusión
Para algunas personas no es algo complejo encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o una relación matemática que uno desee. Por eso, las personas suelen cometen el error de suponer que esto revela un principio místico que rige la naturaleza. Esto se refuerza al hacer caso omiso de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse, simplemente ponen la excusa son "casos unicos".
Al menos yo así creo que debe de ser, darle tu propio significado a la armonía, a la perfección y si alguien más te dice que no lo es pues en realidad no importa porque es tu perspectiva de las cosas. Así como para alguien la perfección puede ser Beethoven alguien más podría describir su perfección con cualquier otra banda, espero se entienda.
Además de sus hermosas propiedades geométricas, la divina proporción, tiene mucha relación con los números de fibonacci, de donde surge su valor en la explicación de la belleza natural, pero donde la belleza es omnipresente es en la creación artística, allí donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, se encontrará la divina proporción, empezando por la naturaleza, de donde muchos artistas extraen su inspiración.
La sección áurea o divina proporción es uno de los tópicos de la geometría pitagórica más fascinantes por la decisiva influencia que ha tenido sobre el arte, la mística, la biología e incluso la magia.
Pero al fin de cuentas yo pienso que es un buen método el rectángulo de áureo pues, y en realidad a la percepción del ojo humano es más agradable y también crea un grado de atracción mayor una figura con proporciones que se originan por este método. Capta una impresionante atención del que se le observa, esto nos da una gran percepción en lo que conocemos y creemos actualmente, Además de sus hermosas propiedades geométricas, la divina proporción, es representado por la letra griega "phi" en honor al escultor griego fidas.
Un rectángulo cuyos lados están en una proporción igual a la razón áurea es llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especial como veremos. Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas proporciones entre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo áureo
Es posible también aplicar el proceso a la inversa: a partir de un rectángulo áureo, puede construirse otro más grande añadiéndole un cuadrado de lado igual al lado mayor del rectángulo original.
SU CONSTRUCCIÓN
En la matemática clásica se construye a partir de la regla y compás siguiendo los pasos:
1. Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
2. Traza una línea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC
3. Empleando esta línea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.
4. Se completa el rectángulo AEDF así como el rectángulo BCEF.
El número áureo (también llamado número de oro, razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción2 ) es unnúmero irracional,3 representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula) en honor al escultor griego Fidias.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),4 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque es más común encontrarlo representado con la letra fi (phi) (Φ,φ). También se representa con la letra griega alpha minúscula.5
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética, sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta, es decir, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc. Una de sus propiedades aritméticas más curiosas es que su cuadrado (Φ2 = 2,61803398874988...) y su inverso (1/Φ = 0,61803398874988...) tienen las mismas infinitas cifras decimales.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total, suma de los dos segmentos a y b, es al segmento mayor a, lo que este segmento a es al menor b. Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente: Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
COMO EMPEZO EL RECTANGULO AUREO?
Leonardo Pisano, también conocido como Fibonacci, fue un famoso matemático italiano que difundió por Europa el sistema de numeración árabe (1, 2, 3...) con base decimal y con un valor nulo (el cero). Pero el gran descubrimiento de
Fibonacci fue la Sucesión de Fibonacci que, posteriormente, dió lugar a la proporción áurea.
Su descubrimiento se lo debemos, como tantas otras cosas, a los griegos. Ellos le dieron un tratamiento básicamente geométrico, y fue Euclides en su obra elementos uno de los primeros que se refirió a este concepto
PARA QUE PUEDE AYUDARTE EL RECTANGULO AUREO?
Bueno el rectángulo aureo nos ayuda mucho en la actualidad ya que este proceso o método lo usan arquitectos, los profesores de educación, los pintores, fotógrafos etc.
Aquí les explicare un poco de cómo se utiliza en la arquitectura como en los demás conceptos:
La primera aparición del número de oro en la arquitectura fue construida hacia el año 2600 a.C en la pirámide de Keops.
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
Este número nos deparará muchas más sorpresas. Porque también los griegos lo utilizaron en la simetría del Partenón que contiene rectángulos que se basan en el número de oro. Con respecto al Partenón, las fachadas son un rectángulo áureo
La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos.
Pero qué tiene de especial ese número? ¿Por qué no es como los demás? Del mismo modo que el número Pi (3,141592...) representa el cuerpo geométrico más perfecto, la esfera, 1,618033... es el número de la belleza. El monje del siglo XV Luca Pacioli, quizá influido por la idea de que los nuevos conocimientos debían adaptarse a las creencias de la Iglesia, lo llamó La Divina Pro porción e indicó: "Tiene una correspondencia con la Santísima Trinidad, es decir, así como hay una misma sustancia entre tres personas -Padre, Hijo y Espíritu Santo-, de igual modo una misma proporción se encontrará siempre entre tres términos, y nunca de más o de menos". Lo que se esconde tras esta esotérica frase, más propia de
alquimistas y ocultistas que de matemáticos, es ese número, el cual se cree que fue bautizado por Leonardo da Vinci con el nombre de número áureo.
El primero en hacer un estudio formal sobre el número áureo fue Euclides, unos tres siglos antes de Cristo, en su obra Los Elementos. Euclides definió su valor diciendo que "una línea recta está dividida en el extremo y su proporcional cuando la línea entera es al segmento mayor como el mayor es al menor." En otras palabras, dos números positivos a y b están en razón áurea si y sólo si (a+b) / a = a / b.
La arquitectura no es ajena a este valor matemático. La relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón de Atenas, por ejemplo, también se relacionan mediante el número áureo. Muchos productos de consumo masivo se diseñan siguiendo esta relación, ya que resultan más agradables o cómodos. Las tarjetas de crédito o las cajas de cigarrillos poseen dimensiones que mantienen esta proporción. El número áureo puede encontrarse por todas partes, y a menudo ni siquiera somos conscientes de que está allí. Pero en general, cuando algo nos resulta atractivo, esconde entre sus partes esta relación.
La sucesión de Fibonacci está llena de anécdotas matemáticas que harán las delicias de los más curiosos. Por ejemplo: si sumamos 10 números consecutivos de la serie elegidos al azar, el resultado siempre es múltiplo de 11.
21+34+55+89+144+233+377+610+897+1.597=4.147=11x377
89+144+233+377+610+987+1.597+2.584+4.181+6.765=17.567=11x1.597
De hecho, los resultados son iguales a multiplicar por 11 el séptimo número elegido, en estos dos casos, 377 y 1.597
Se ha estudiado mucho la sucesión de Fibonacci y el conocimiento sobre ella es amplio, pero no completo. De hecho, hay una conjetura aún sin demostrar: que la sucesión de Fibonacci contiene infinitos números primos Esto es todo.
QUE ARTISTAS HAN UTILIZADO EL TRIANGULO AUREO?
La pirámide de Keops, el Partenón, Edificio Naciones Unidas, el ADN, hojas, pétalos, brócoli, semillas, tarjetas de crédito, entomología, la Mona Lisa , el Hombre de Vitrubio, conchas, helechos, araucarias, cactus, girasoles, los anillos de Saturno, etc., etc., todo remite al número Φ.
*En la antigua Grecia se utilizó para establecer las proporciones de los templos tanto en su planta como en sus fachadas. En el Partenón Fidias también lo aplicó en la composición de las esculturas. ( la denominación Fi la efectuó en 1900 el matemático Mark Barr en su honor).
Los artistas del Renacimiento utilizaron el número de oro en múltiples ocasiones tanto en pintura, escultura como arquitectura para lograr el equilibrio y la belleza. Leonardo Da Vinci, por ejemplo lo utilizó para definir todas las proporciones
fundamentales en su pintura " La Ultima Cena ," desde las dimensiones de la mesa, hasta la disposición de Cristo y los discípulos sentados, así como las proporciones de las paredes y ventanas al fondo.
Johanes Kepler (1571-1630), descubridor de la naturaleza elíptica de las órbitas de los planetas alrededor del sol, mencionó también la “Divina Proporción", diciendo esto acerca de ella: "La geometría tiene dos grandes tesoros: uno es el teorema de Pitágoras; el otro, la división de una línea entre el extremo y su proporcional. El primero lo podemos comparar a una medida de oro; el segundo lo debemos denominar una joya preciosa."
EN LA NATURALEZA:
La proporción áurea en la naturaleza
Quizás lo que es más sorprendente acerca de la razón dorada es que puede ser vista como un fenómeno que ocurre de forma natural en la naturaleza. Se expresa en la disposición de las ramas a lo largo de los tallos de las plantas y las venas de las hojas. Se puede observar en los esqueletos de los animales y los seres humanos y la ramificación de sus venas y nervios. Incluso se puede ver en las proporciones de compuestos químicos y la geometría de los cristales.
La cola del pavo real. Este pavo real se está burlando de los "matemáticos” místicos). Las manchas en las plumas de su cola parecen formar patrones en espiral.
La cola del camaleón. Esta es la cola de un camaleón. Parece decirnos con su cola enroscada algo así como: "Yo también puedo crear algo parecido a una espiral de oro. Es muy sencillo. Simplemente comienzo con una cola, que es básicamente un cono largo y delgado, y la enrollo con fuerza. El resultado es tan bueno como la caparazón del nautilo por el que todo el mundo hace tanto escándalo".
EN CONTRA Y A FAVOR:
Por supuesto, gran parte de esto es completamente absurdo. Las matemáticas no "explican" lo que sea en la naturaleza, sino que usa modelos matemáticos muy potentes para describir los patrones y las leyes de la naturaleza. Creo que es
seguro decir que la secuencia de Fibonacci, la proporción dorada, y el rectángulo de oro, jamás han conducido de manera directa al descubrimiento de una ley fundamental de la naturaleza. Cuando vemos un patrón numérico o geométrico ordenado en la naturaleza, nos damos cuenta que hay que cavar más profundo para encontrar la razón subyacente de por qué estos patrones emergen.
No es difícil seleccionar ejemplos que parecen apoyar la idea de que los patrones de la naturaleza se basan en Φ. Pero si eso no funciona para un caso particular, algunas personas empiezan a buscar relaciones de tamaños entre los primeros valores de la serie de Fibonacci, claramente antes de que esas relaciones comiencen a converger a Φ.
Conclusión
Para algunas personas no es algo complejo encontrar ejemplos para casi cualquier patrón o una relación matemática que uno desee. Por eso, las personas suelen cometen el error de suponer que esto revela un principio místico que rige la naturaleza. Esto se refuerza al hacer caso omiso de los casos de igual importancia que no se ajustan al patrón. Si el ajuste no es muy bueno, se aproximan o manipulan las cifras. Si algunas cosas siguen sin poder adaptarse, simplemente ponen la excusa son "casos unicos".
Al menos yo así creo que debe de ser, darle tu propio significado a la armonía, a la perfección y si alguien más te dice que no lo es pues en realidad no importa porque es tu perspectiva de las cosas. Así como para alguien la perfección puede ser Beethoven alguien más podría describir su perfección con cualquier otra banda, espero se entienda.
Además de sus hermosas propiedades geométricas, la divina proporción, tiene mucha relación con los números de fibonacci, de donde surge su valor en la explicación de la belleza natural, pero donde la belleza es omnipresente es en la creación artística, allí donde haya una especial intensificación de la belleza y la armonía de las formas, se encontrará la divina proporción, empezando por la naturaleza, de donde muchos artistas extraen su inspiración.
La sección áurea o divina proporción es uno de los tópicos de la geometría pitagórica más fascinantes por la decisiva influencia que ha tenido sobre el arte, la mística, la biología e incluso la magia.
Pero al fin de cuentas yo pienso que es un buen método el rectángulo de áureo pues, y en realidad a la percepción del ojo humano es más agradable y también crea un grado de atracción mayor una figura con proporciones que se originan por este método. Capta una impresionante atención del que se le observa, esto nos da una gran percepción en lo que conocemos y creemos actualmente, Además de sus hermosas propiedades geométricas, la divina proporción, es representado por la letra griega "phi" en honor al escultor griego fidas.
domingo, 10 de enero de 2016
RECTÁNGULO DE ÁUREO Y TRIANGULO DE HERÓN DE ALEJANDRÍA
EL RECTÁNGULO DE ÁUREO
El rectángulo dorado también conocido como rectángulo de áureo es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral logarítmica.
El rectángulo dorado también conocido como rectángulo de áureo es un rectángulo que posee una proporcionalidad entre sus lados igual a la razón aúrea. Es decir que es aquél rectángulo que al substraer la imagen de un cuadrado igual al de su lado menor, el rectángulo resultante es igualmente un rectángulo dorado. A partir de este rectángulo se puede obtener la espiral dorada, que es una espiral logarítmica.
Un rectángulo dorado con un lado mayor a y con un lado menor b. Cuando se abate el rectángulo pequeño sobre el cuadrado de lado a, se genera un rectángulo dorado similar con su lado mayor a + b y con su lado más corto a.
CONSTRUCCIÓN
En la matemática clásica se construye a partir de la regla y compás siguiendo los pasos:
1. Se construye un cuadrado de lado unidad ABCD
2. Traza una línea desde la mitad del lado del cuadrado (G) hasta una de sus esquinas, dando un segmento GC
3. Empleando esta línea GC como radio, se coloca la punta del compás en la mitad del cuadrado y se abate hasta cortar en E.
4. Se completa el rectángulo AEDF así como el rectángulo BCEF.
El rectángulo de áureo tiene muchas formas de aplicaciones por ejemplo en el arte, la arquitectura o en la fotografía:
Una vez entendido el tema empezamos a trazar con regla y con compas el rectángulo dorado después de terminarlo el profesor nos indico que lo dibujáramos en un programa de computadora llamado AutoCad
El rectángulo áureo se caracteriza porque la razón del lado mayor, al menor, es igual al número áureo. Es igual: 1.618033
TRIANGULO DE HERÓN DE ALEJANDRÍA
La llamada fórmula de Herón permite calcular el área de un triángulo a partir de las medidas de sus lados. Coxeter indica que la fórmula ya era conocida por Arquímedes.
De igual forma una vez entendido el tema, pues trazamos en el cuaderno y posteriormente en AutoCad. El triangulo que hicimos fue para saber la incógnita que era la altura, las medidas que utilizamos fueron:
A = 10.5
B = 8
C = 12
La altura que nos dio fue de 6.8855009
Experiencias al realizar los dibujos en Autocad:
Bueno utilizamos diferentes comandos como por ejemplo comando línea, circulo, acotaciones etc. También utilizamos el comando capa para dibujar en el caso del triangulo los círculos están coloreados de color morado y en el rectángulo se pintaron los círculos y las acotaciones de color naranja.
En el rectángulo de Áureo:
A mí parecer fue complicado de hacer y más laborioso para obtener como resultado final el rectángulo dorado, pues se utilizaron más pasos a seguir por esta razón fue más tardado de realizar
Triangulo de Herón de Alejandría:
En el rectángulo dorado se utilizaron más pasos y este triangulo fue mucho más fácil de hacer fueron menos pasos por lo tanto menos tardado de realizar tanto en AutoCad como en el cuaderno como lo hicimos principalmente
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